2 тарауды пысықтауға арналған есептер

2.1. Континуум қозғалысының кеңістіктік (Эйлерлік) сипатталуы ; ;  түрінде берілген. Мұндай қоғалыс үшін J якобианы нөлден ерекше екенің дәлелденіз және орын ауыстыру теңдеуін түрлендіріп, бұл қозғалыстың материалдық (Лагранждық) сипатталуын табыныз.

2.2. Континуум қозғалысының заңы ; ;  түрінде берілген. Жылдамдық компоненталарын Эйлерлік және Лагранждық формада анықтаңыз.

2.3. Жылдамдық өрісі  түрінде берілген. Үдеу компонеттерін табыныз.

2.4. 5.3-есепте берілген жылдамдық өрнегін интегралдау арқылы орын ауыстыру теңдеуін  (қозғалыс заңы) түрінде табыныз. Осы арқылы үдеу компоненттерін лагранждық формада анықтаңыз.

2.5. Тұтас ортаның қозғалыс заңы   х₃=Х₃ түрінде берілген. Бұл қозғалыстың траекториясы шеңбер, ал жылдамдық тұрақты екенің дәлелде. Сонымен қатар Х₁ және Х₂ және тұрақтылар А және В арасындағы байланысты анықта.

2.6. Жылдамдық өрісі  векторымен берілген. t=1 уақытында Р(1,3,2) нүктесінде болған бөлікшенің жылдамдығын және үдеуін анықтаңыз.

2.7. 5.3-есептегі жылдамдық өрісінің тоқ сызығы мен траекториясын табыныз және олардың бірдей екенің дәлелде.

2.8. Электромагниттік континуумдегі магнит өрісінің кернеулігі -ға тең, мұндағы  және А – тұрақты және қозғалыс v₁=Bx₁x₃t, , v₃=Bx₃x₂ түріндегі жылдамдық өрісі арқылы берілген. t=1 уақытында Р(2,-1,2) нүктесінде болған бөлікшенің магнит өрісі кернеулігінің өзгеру жылдамдығын анықтаңыз.

2.9. Жылдамдық өрісі v₁=4х₃-3х₂, v₂=3х₁, v₃=-4х₁ түрінде берілген. Р(1,0,0) және Q(0,4b,3b) нүктелеріндегі үдеу компоненттерін анықтаңыз және жылдамдық өрісі, бұрыштық жылдамдығы 5-ке тең болатын абсолютті қатты дененің  векторының бойымен бағытталған осьтің бойында айналуына сәйкес келетініне назар аударыныз.

2.10. Иірімділік векторының анықтамасын  пайдаланып,  және  екенің дәлелде.

2.11.  үдеуін  түрінде жазуға болатынын дәлелде.

2.12.  теңдігін дәлелде.

2.13. Ортаның қалыптасқан қозғалысы () үшін тоқ сызығы мен траекториясы бірдей екенің дәлелде.

2.14. , ,  түріндегі стационарлық жылдамдық өрісі үшін, кез-келген деформацияның жылдамдық тензоры -ның, кез-келген Р(х₁,х₂,х₃) нүктесіндегі бас мәндерін табыныз.

2.15.  векторлық көбейтінді түрінде жазылған dS_i ауданынан материальдық туынды алу арқылы, (2.43) теңдігін дәлелденіз.

2.16. 2.10 және 2.11 есептерінің нәтижелерін пайдаланып, иірімділік ағынының өзгеруінің материалдық жылдамдығы, яғни  туындысы,  үдеуінің  ағын векторына тең екенің дәлелденіз.

2.17. Иірімділік векторы  үшін  теңдігі орындалатының дәлелденіз.

2.18. Бірқатар ағыс    мұндағы А және В тұрақтылар, түріндегі жылдамдық өрісі арқылы берілген. Бұл қозғалыс үшін жылдамдық градиенті -ді табыныз және t=0 уақытында Р(1,0,3) нүктесіндегі деформация жылдамдық тензоры -ны және иірімділік тензоры -ны анықтаңыздар.

2.19. , , қозғалысы үшін деформация жылдамдық тензоры -ны және иірімділік тензоры -ны анықтаңыздар. -ның компоненттерін аз деформациялардың эйлерлік тензоры -нің компоненттерінің өзгеру жылдамдықтары -мен салыстырыныз.

2.20. Құйын сызығы деп қозғалыстағы ортаның әрбір нүктесіндегі жанамасы құйын векторы -ның бойымен бағытталған түзуді айтады. Құйын сызығының теңдеуі  түрінде болатының дәлелде.

2.21.  түріндегі жылдамдық өрісінің құйын сызықтары түзу болатының дәлелде. Олардың теңдеуін жаз.

2.22. 2.21. есептегі жылдамдық өрісі үшін  болғандықтан, ол абсолютті қатты дененің айналуын сипаттайтының дәлелде.

2.23.  түріндегі жылдамдығы бар абсолютті қатты дененің айналуы үшін жылдамдықтың құйын векторы -ны анықтаңыз және  екенің дәлелде.

2.24.  түріндегі стационарлық жылдамдық өрісі берілген. Р(1,1,3) нүктесіне қатысты    нүктелерінде орналасқан бөлікшелердің ара қашықтығын табыныз және олардың шамасы (2.26) формула арқылы анықталған салыстырмалы жылдамдыққа ұмтылатының дәлелде.

2.25.  түріндегі стационар-лық жылдамдық өрісі үшін  бағытындағы Р(1,1,1) нүктесіндегі материалдық кесіндінің узару жылдамдығын анықтаңыз.

2.26. 2.25. есептегі қозғалыс үшін Р нүктесінде,  және  екі ортогональ бағыттар арасындағы бұрыштың өзгеру жылдамдығын анықтаңыз.

2.27. v₁=2x₃, v₂=2x₃, v₃=0 түріндегі стационарлық жылдамдық өрісі берілген. Деформация жылдамдық тензорының бас мәндері мен бас бағыттарын анықтаңыз.

2.28. 6.10-есепте берілген қозғалыс үшін жылжудың максималды жылдамдығы -ды анықтаңыз.

2.29. Екі сызықтық элементтің скалярлық көбейтіндісінен уақыт бойынша екінші ретті материалдық туындысын, яғни -ты табыныз.

2.30. Бірқатар векторлық шама Р_i-дің S беті арқылы өткен ағынының материалдық туындысын, яғни -ді табыныз.

2.31. 2.30. есепте алынған ағынның материалдық туындысын символдық формада келесі түрде жазуға болатының дәлелде:

.

2.32. (2.53) және (2.54) формулалар арқылы өрнектелген Рейнольдстың тасымалдай туралы теоремасын символдық формада жазыңыз.

2.33. Егер 2.31 есептегі  функциясы 1-ге тең скаляр шама болса, онда сол жақтағы интеграл континуумның бірқатар бөлігінің лездік көлемі болады. Бұл көлемнің материалдық туындысын табыныз.